2次関数のグラフと平行移動に関する問題解説

この問題では、2次関数のグラフの平行移動とその特性を理解することが求められています。具体的には、関数の頂点の座標を求め、グラフがx軸と共有点を持つ条件や、特定の範囲で共有点を持つ条件を探る問題です。以下では、各問についての解き方とその理由を解説します。

(1) y = f(x) のグラフの頂点の座標を求めよ

与えられた関数は、f(x) = 2x² – 4ax + 5 です。この式は、標準的な2次関数の形式 y = ax² + bx + c に従っています。頂点の座標は、x座標が -b / 2a で与えられ、y座標はそのx座標を代入して求めることができます。

まず、a = 2, b = -4a, c = 5 であるため、x座標は -(-4a) / (2 × 2) = 4a / 4 = a です。次に、このx = a を元の式に代入して、y座標を求めます。

y = 2a² – 4a × a + 5 = 2a² – 4a² + 5 = -2a² + 5 です。

したがって、頂点の座標は (a, -2a² + 5) となります。

y = g(x) のグラフは、y = f(x) のグラフを x軸方向に 1、y軸方向に -5a – 2 だけ平行移動したものです。したがって、g(x) = 2(x – 1)² – 4a(x – 1) + 5 – 5a – 2 となります。これを展開して簡単化します。

g(x) = 2(x² – 2x + 1) – 4a(x – 1) + 5 – 5a – 2 = 2x² – 4x + 2 – 4ax + 4a + 3 – 5a = 2x² – (4 + 4a)x + (2 + 4a + 3 – 5a)

この式を解くと、y = g(x) のグラフがx軸と共有点をもつためには、g(x) = 0 の解が実数である必要があります。つまり、判別式が0以上である必要があります。

y = g(x) のグラフがx軸の 0 < x < 3 の部分とただ1つの共有点をもつためには、判別式がちょうど0である必要があります。判別式が0であるとき、二次方程式の解は1つだけです。この条件に基づいて、aの値の範囲を求めます。

この問題では、2次関数の平行移動とそのグラフがx軸と共有点を持つ条件、または指定された範囲で共有点を持つ条件を求める問題でした。頂点の座標を求めること、判別式を利用して解を求めることは、2次関数の基本的な理解を深めるために非常に重要です。