高校数学Ⅱの等式の証明方法｜異なる解法アプローチを理解する

高校数学Ⅱの問題で「a + b = 1のとき、a² + b² + 1 = 2(a + b – ab)」を証明する際に、どちらの解法が正しいのか疑問に思うことがあるかもしれません。今回は、2つの異なる解法アプローチについて説明し、それぞれの方法の特徴と、テストにおける適切な書き方を考えてみましょう。

問題の設定と解法方法

まず、問題にある式「a + b = 1」のもとで、式「a² + b² + 1 = 2(a + b – ab)」が成立することを証明します。ここでは、2つのアプローチ—両辺を変形する方法と、左辺と右辺を直接比較する方法—を紹介します。

1つ目の解法は、両辺の式を変形して証明する方法です。a + b = 1を前提にして、左辺と右辺を変形していきます。

左辺は、a + b = 1を利用して、(a + b)² – 2ab + 1 = 2 – 2abとなり、右辺は2(1 – ab) = 2 – 2abとなり、両辺が一致することが分かります。

2つ目の解法は、式を直接比較して証明する方法です。まず、左辺と右辺の差を計算していきます。

「a² + b² + 1 – 2(a + b – ab)」を展開すると、(a + b)² – 2(a + b) + 1となり、最終的に(1 – 1)² = 0に到達します。これにより、左辺と右辺の差が0であることが分かり、証明が完了します。

どちらの解法を使うかは、テストの問題文の指示や、解法に求められる厳密さによります。しかし、一般的には、問題をできるだけ簡潔に解く方法が好まれます。

両辺を変形する方法は、計算の過程をしっかりと示すことができるため、論理的に整理された証明を求められる場面に適しています。対して、左辺と右辺を直接比較する方法は、計算を省略するため、計算ミスが少ない場合に有効です。

どちらの解法を使うかは状況によりますが、数学の証明問題では、計算の過程をしっかりと示すことが重要です。証明の方法としては、両辺を変形する方法と、直接比較する方法のどちらも適切ですが、テストの要求に合わせて選ぶことが大切です。