微分の定義を用いて、関数sin(x)の微分を計算する方法を解説します。微分の定義に従うことで、関数の瞬間的な変化率を求めることができます。以下では、sin(x)の微分を行うための手順とその考え方を示します。
微分の定義
微分の定義は、次のように表されます。
f'(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x)) / h]
この定義を使用して、任意の関数f(x)を微分することができます。ここで、f'(x)はf(x)のxにおける導関数、すなわち微分係数です。
sin(x)の微分を計算する
sin(x)の微分を求めるためには、微分の定義を使って、次のように計算します。
lim(h→0) [(sin(x + h) - sin(x)) / h]
ここで、sin(x + h)を加法定理を使って展開します。加法定理により、次の式が得られます。
sin(x + h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)
これを微分の定義に代入して計算を続けます。
lim(h→0) [(sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)) / h]
これをさらに整理すると。
lim(h→0) [(sin(x)(cos(h) - 1) + cos(x)sin(h)) / h]
次に、この式を2つの項に分けて計算します。まず、lim(h→0) (cos(h) – 1) / h の極限値は0であり、次にlim(h→0) sin(h) / h の極限値は1です。したがって、最終的な微分結果は。
f'(x) = cos(x)
となります。これが、sin(x)の微分結果です。
考え方のポイント
この計算方法の重要なポイントは、加法定理を使ってsin(x + h)を展開することです。その後、微分の定義に従って極限を求めることで、導関数を計算します。また、三角関数の極限値を正しく理解して適用することが重要です。
まとめ
sin(x)の微分を微分の定義に従って計算することで、導関数がcos(x)であることが分かります。この方法では、加法定理と極限を使うことが鍵となります。微分の定義に従った計算を行うことで、数学的な理解が深まります。
コメント