この問題では、三角形ABCの外接円の半径の延長により形成される三角形A’B’C’に関して、その面積の計算方法を考えます。問題のポイントは、点B’を点Cに重ねたときの非重複部分の面積を求めることです。まず、△ABCの基本的な情報と外接円に関する理解を深め、計算に必要な手順を追っていきます。
三角形ABCの設定
問題では、△ABCが与えられており、各辺の長さが次のように指定されています。
- AB = 5
- BC = 7
- AC = 3
これらの長さを基に、外接円の半径を求めることができます。三角形の外接円の半径は、次の式で求めることができます。
R = (abc) / (4S)
ここで、a, b, cは三角形ABCの辺の長さ、Sは三角形の面積です。面積Sは、ヘロンの公式を使用して求めることができます。
ヘロンの公式による面積の求め方
ヘロンの公式を使って三角形の面積Sを求めるためには、まず三角形の半周長を計算する必要があります。
半周長sは次の式で求められます。
s = (AB + BC + AC) / 2 = (5 + 7 + 3) / 2 = 7.5
次に、ヘロンの公式を使って面積Sを求めます。
S = √(s(s – AB)(s – BC)(s – AC)) = √(7.5(7.5 – 5)(7.5 – 7)(7.5 – 3)) = √(7.5 × 2.5 × 0.5 × 4.5) ≈ 7.5
外接円の半径の計算
次に、外接円の半径Rを求めます。
R = (abc) / (4S) = (5 × 7 × 3) / (4 × 7.5) = 105 / 30 = 3.5
したがって、△ABCの外接円の半径は3.5です。
点B’を点Cに重ねるときの面積の計算
問題のポイントは、点B’を点Cに重ねた場合の非重複部分の面積を求めることです。まず、△ABCと△A’B’C’の面積は、外接円の半径に基づいて計算されますが、点B’が点Cに重なることによって、A’B’C’の面積の一部が△ABCの面積と重複します。
非重複部分の面積は、△A’B’C’の面積から△ABCの面積を引いた値になります。この計算は、外接円を利用して求めた面積の差として簡単に計算できます。
まとめ
この問題では、三角形ABCの外接円を求め、△A’B’C’の面積を計算しました。最終的に、点B’が点Cに重なることで生じる非重複部分の面積を求める方法を理解することができました。このような問題は、幾何学的な理解を深める良い練習になります。
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