a² + b² + c² ≧ ab + bc + ca の証明と等号が成り立つ時

この問題では不等式「a² + b² + c² ≧ ab + bc + ca」の証明と、等号が成り立つ場合について解説します。提案されたアプローチに基づいて、数学的なステップを順を追って見ていきます。

1. 不等式の変形

最初に不等式を整理しましょう。元の不等式は次のようになります。

a² + b² + c² ≧ ab + bc + ca

この式を「左辺 – 右辺」として引き算します。

(a² + b² + c²) – (ab + bc + ca) ≧ 0

ここから計算を進めていきます。

式をもう少し変形します。

a² + b² + c² – (ab + bc + ca) ≧ a² + b² + c² – 2(ab + bc + ca)

ここで重要なのは、「(a-b-c)²」という形に変形できることです。

したがって、次のように表せます。

(a – b – c)² ≧ 0

(a – b – c)² ≧ 0 という式は、二乗したものが0以上であることを示しています。二乗の性質から、(a – b – c)²が0であるときに限り、この不等式が成立します。

このため、a = b = c のときに等号が成り立つことが分かります。

等号が成り立つためには、(a – b – c)² = 0 となる必要があります。これを解くと、a = b = c であることが分かります。

この不等式「a² + b² + c² ≧ ab + bc + ca」の証明は、次のように進みます。

したがって、提案されたアプローチは正しいです。この方法で不等式を証明することができ、等号が成り立つのは a = b = c の場合であることが分かります。