√540/√nが整数となるnの値は何通りか？その解き方と考え方

この問題は、√540/√nが整数となるnの値を求める問題です。問題文にあるように、nの値が自然数であるとき、どのような値を取ると式が整数になるのかを考えます。

問題の整理

√540/√nを整数にするには、分子の√540と分母の√nが整った形で割り算をする必要があります。これは、分母と分子に含まれる平方根を取り除くことと同義です。

まず、√540を素因数分解します。540は2×2×3×3×3×5なので、√540は√(2²×3³×5)と表すことができます。これを簡単にすると、√540 = 2×3√15となります。

次に、√540/√nが整数になるようなnの値を考えます。これには、分母の√nが分子の2×3√15を割り切れるような形にする必要があります。つまり、nの値は、√15を含む要素を消去できる値にする必要があります。

√15を消去するためには、nが15の倍数でなければなりません。具体的には、nが15、30、45、60などの倍数の中で、平方根の形が整数になる値を選びます。計算してみると、nの値は4通りに絞られます。

この問題では、√540と√nの関係を整理し、適切なnを求めるために素因数分解と倍数の概念を使いました。最終的に、nの値は4通りであることがわかります。この方法を他の類似の問題にも応用することができるので、同様の手法で解ける問題が増えます。