ベクトル空間の次元や基を求める問題は、線形代数の基本的な問題の一つです。与えられたベクトルの集合が作る空間（例えば、R^5の部分空間）の次元と基を求めるためには、行列のランクや列ベクトルの線形独立性を調べる必要があります。今回は、具体的な例題を通じて、ベクトル空間の次元と基を求める方法について解説します。
問題設定
以下のようなベクトル空間Wの次元と基を求める問題です。
問題(1)
W = {x ∈ R^5 | 1 1 1 1 1, 1 -1 1 0 2, -2 4 -2 0 2, 1 -1 2 1 1, x = 0}としたとき、このベクトル空間の次元と基を求めなさい。
問題(2)
W = {x ∈ R^5 | 2 0 -1 3 4, 1 2 3 1 -5, 3 1 4 -7 10, x = 0}としたとき、このベクトル空間の次元と基を求めなさい。
ベクトル空間の次元と基の求め方
ベクトル空間の次元を求めるためには、まずその空間に含まれるベクトルの集合が線形独立であるかを確認します。もし線形独立であれば、その集合のベクトル数が次元となります。次に、その空間の基を求めるためには、線形独立なベクトルの集合を選ぶ必要があります。
問題(1)の解法
まず、与えられた行列を使用して、その列ベクトルが線形独立かどうかを調べます。行列のランクを求めることで、ベクトル空間の次元がわかります。行列を基本変形して、ランクを求め、最終的に基となるベクトルを選び出します。
問題(2)の解法
問題(2)についても同様に、行列を使って列ベクトルの線形独立性を確認し、そのランクを求めます。ランクがそのベクトル空間の次元となり、次に基となるベクトルを選び出します。
まとめ
ベクトル空間の次元と基を求めるには、行列のランクを求めることが最も基本的なアプローチです。ランクが次元を示し、線形独立なベクトルを基として選びます。この問題では、行列を用いて計算を進め、最終的に次元と基を求める方法を学びました。
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