線形変換の基、Rank、Nullity、Imの基の求め方

線形代数で、線形変換（T）のRankやNullity、Im（T）やKernel（T）などを求める問題は重要です。特に行列を用いた問題では、これらの概念を理解することが必要です。今回は、与えられた行列をもとにRank（T）とIm（T）の基、またNullity（T）とKer（T）の基を求める方法について説明します。

問題の設定

質問には2つの線形変換が与えられています。まず、各行列を使って、それぞれのRank、Nullity、Kernel、Imageを求めることが求められています。次に、それに基づいて基底を求める方法を解説します。

線形変換の行列の理解

最初に、T(x) =
1 -2 1 0 0
1 -2 1 0 1
-2 4 -2 0 2
1 -1 2 1 1
のような行列が与えられています。ここで、TはR^5からR^4への線形変換です。この行列に基づき、Rank、Nullity、Im（T）とKer（T）を計算していきます。

RankとNullityの計算方法

Rankは行列の独立な行または列の数であり、Nullityは線形変換の核の次元です。行列の階数（Rank）を求めるためには、行列の列または行に対して基本変形を行い、非零の行または列の数を数えることが重要です。Nullityは次元定理を使用して求めます。

Im(T)とKer(T)の基の求め方

Im(T)（像）は、行列の列空間、Ker(T)（核）は行列の零空間を指します。それぞれの基底を求めるためには、行列の列ベクトルや零空間の解空間を求めます。これらを実際に計算し、基底を導出していきます。

まとめ

今回は、与えられた線形変換に基づき、Rank、Nullity、Im（T）、Ker（T）の基を求める方法を解説しました。これらの計算方法を理解することが、線形代数の基礎を固めるために非常に重要です。特に行列の基本変形や次元定理を使用することで、効率よく解を求めることができます。