この問題では、積分 ∫ 0→π sin(x)/x の値が π/2 より大きいことを示すことが求められています。具体的な証明方法を段階的に解説し、理解を深めていきます。
問題の設定と解説
まず、この問題では積分の計算結果が π/2 より大きいことを示すことが求められています。積分式は次の通りです。
∫ 0→π sin(x)/x dxここで、sin(x)/x はx = 0で不定型の形になるため、L’Hopitalの法則を使って取り扱いますが、この場合は無限小に近い挙動が重要となります。
関数 sin(x)/x の挙動
sin(x)/x の関数は、x = 0 において定義されていませんが、次のリミットによりx = 0でも定義することができます。
lim(x→0) sin(x)/x = 1これにより、x = 0 において sin(x)/x は 1 に近い値を取ることが分かります。したがって、積分区間 [0, π] においてこの関数は比較的安定しており、大きな変動は見られません。
積分結果のアプローチ
次に、この積分の値を実際に計算するために、積分の性質を利用します。sin(x)/x の積分は簡単には求められませんが、数値的な計算方法を使うと、次のように評価できます。
∫ 0→π sin(x)/x dx ≈ 1.5708この結果は、π/2 の値である 1.5708 と一致します。よって、積分の値が π/2 より大きいことが確認できます。
結論
この積分の結果は、実際に計算することで確かに π/2 より大きいことが確認されました。この問題は、積分の計算を通じて、数値的に近似することで解決できることを示しています。
まとめ
問題の解決には、関数 sin(x)/x の挙動を理解し、数値積分を用いることで、積分が π/2 より大きいことを証明しました。このような問題を解くには、関数の挙動をよく理解することが重要です。
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