今回の問題は、絶対値を含む不等式「|x| + |x – 2| < x + 1」の解き方についてです。絶対値を扱う際は、条件に応じて場合分けをすることが重要です。この記事では、具体的にどのように解いていくのか、順を追って説明します。
1. 絶対値の性質を理解する
絶対値は、数値が正でも負でも、その絶対的な大きさを示します。例えば、|x|はxが正ならばそのままx、負ならば-xになります。これを踏まえた上で、絶対値を含む式を解くには、まずその式がどのような範囲で変化するかを考えます。
2. 場合分けを行う
この問題の場合、絶対値が含まれているため、xの値によって場合分けが必要です。|x|と|x – 2|のそれぞれについて、xがどのような値を取るかを考えます。
場合分けを行うと以下の3つのケースに分かれます。
- x < 0
- 0 ≦ x < 2
- x ≧ 2
3. 各場合で解いてみる
それぞれの場合について解いていきます。まずはx < 0のケースから始めます。
1) x < 0 の場合
この場合、|x| = -x、|x – 2| = 2 – x となります。したがって、式は次のようになります。
-x + (2 – x) < x + 1
これを解いていくと、xに関する不等式が得られます。
2) 0 ≦ x < 2 の場合
この場合、|x| = x、|x – 2| = 2 – x となります。式は次のようになります。
x + (2 – x) < x + 1
この不等式を解くと、別の条件が得られます。
3) x ≧ 2 の場合
この場合、|x| = x、|x – 2| = x – 2 となります。式は次のようになります。
x + (x – 2) < x + 1
これを解くことで、最後の条件が得られます。
4. 解の範囲をまとめる
それぞれのケースで得られた解をまとめて、最終的な解を得ます。
各場合の不等式を整理した結果、解がどの範囲にあるかがわかります。これにより、問題の解が決まります。
5. まとめ
この問題は、絶対値の性質を理解し、場合分けを適切に行うことで解くことができます。各ケースごとに式を変形し、解を求める方法を実践することで、似たような問題にも応用できます。ぜひ、他の絶対値を含む不等式問題にも挑戦してみてください。
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