行列の対角化問題の解法と解説

行列の対角化は、線形代数において非常に重要な技術で、特に固有値と固有ベクトルの計算に関連しています。ここでは、与えられた行列が対角化可能かどうかを調べ、対角化が可能な場合はその方法について詳しく解説します。

行列の対角化とは

行列が対角化可能であるということは、その行列がある基底で対角行列になることを意味します。つまり、行列Aに対して、ある行列Pを使って、A = P * D * P^(-1)という形に表せる場合を言います。ここでDは対角行列です。

行列が対角化可能であるための必要条件は、固有値が線形独立であることです。つまり、行列の固有値に対応する固有ベクトルが線形独立でなければ、行列は対角化できません。

行列A =
7 -6
3 -2の固有値を求め、対角化可能かどうかを確認します。まず、行列の固有値を求めるためには、行列の固有方程式det(A – λI) = 0を解きます。ここでλは固有値、Iは単位行列です。

行列B =
13 -30
5 -12の場合も同様に、固有値を求めて対角化可能か確認します。固有値が求められた後、固有ベクトルを計算し、その線形独立性を調べます。

行列C =
2 -3
-1 2も同様に処理します。この行列が対角化できるかを確認するために、固有値と固有ベクトルを求め、対角化の可否を調べます。

行列の対角化には、固有値の計算と固有ベクトルの線形独立性の確認が必要です。与えられた行列について、固有値を求め、その固有ベクトルが線形独立である場合、行列は対角化可能です。