微分方程式 x(∂z/∂y) + y(∂z/∂x) + xy = 0 の完全解と一般解の求め方

この問題では、微分方程式 x(∂z/∂y) + y(∂z/∂x) + xy = 0 の完全解と一般解を求める方法を解説します。最初に方程式を整理し、次に適切な解法を使ってその解を求めていきます。

問題の理解と方程式の整理

与えられた微分方程式は次の形です。

x(∂z/∂y) + y(∂z/∂x) + xy = 0

この式は、zがxとyの関数であるときの偏微分方程式で、z(x, y)の一般解を求めるものです。最初に、これを適切な形に整理して解法に進みます。

変数分離法を使うために、まず式をxとyに関する項に分けます。最初のステップとして、方程式を次のように整理できます。

x(∂z/∂y) + y(∂z/∂x) = -xy

これを解くために、偏微分項を分けて扱うと、それぞれxとyに関連する部分を分離することが可能です。これによって、別々の微分方程式として解くことができ、最終的にz(x, y)を求めます。

完全解を求めるためには、方程式の特性を理解し、適切な積分を行う必要があります。具体的には、上記の式から得られる解を積分することで、z(x, y)の完全解が求まります。積分定数がどのように関わるかも重要です。

積分を行うと、次のように解を得ることができます。

z(x, y) = f(xy) + C

ここでf(xy)は、xとyの積に依存する任意の関数であり、Cは積分定数です。

一般解は、上記の解に任意定数Cを含んだ形で表現されます。この解は、与えられた初期条件や境界条件によって特定の値を持つように決定されます。

特に、xとyが与えられた条件に基づいて、f(xy)の具体的な形を決めることで、問題の特定の解が得られます。

微分方程式 x(∂z/∂y) + y(∂z/∂x) + xy = 0 の完全解を求めるためには、まず変数分離法を用いて式を整理し、積分することで解を導きます。得られた一般解は、任意定数を含み、初期条件によって特定の解を得ることができます。これにより、与えられた微分方程式を解くことができます。