2つの二次関数の大小関係と定数aの範囲の求め方

この問題では、二次関数の大小関係を考えながら定数aの値を求める問題です。特に、与えられた条件を基に、aの値をどのように求めるかをステップごとに解説していきます。

1. 問題の整理

与えられた二次関数は、f(x) = x² – 2x + 3 と g(x) = -x² + 6x + a² + a – 9 です。これらの大小関係を求めるためには、まず各関数の形を理解し、条件に合わせて解を求める必要があります。

まず、xの範囲は 0≦x≦4 です。この範囲で、f(x) が g(x) より常に小さい場合、どのようなaの値が条件を満たすかを考えます。

解法として、まずf(x) と g(x) の関数のグラフを比較し、各関数の交点や最小値・最大値を求めます。その後、交点の位置を求めるために、f(x) ＜ g(x) が成り立つようなaの範囲を設定します。

次に、あるx₁とx₂の間でf(x₁)＜g(x₂)が成り立つようなaの範囲を求めます。この場合、すべてのxで成り立つわけではなく、特定のxに対して成り立つので、条件を満たす範囲を計算する必要があります。

この場合、f(x) と g(x) の交点を求めて、その点での値を比較し、aの範囲を求める方法をとります。具体的には、aの値が決まる範囲を導き出すために、数式の変形とグラフを用いて計算します。

この問題を解くためには、まず各関数の形をよく理解することが大切です。xの範囲が決まっているので、その範囲で大小関係が成り立つかどうかを考え、各関数のグラフを描きながら進めると理解しやすいです。また、aの範囲を求める際には、グラフを見てどのようなaの値で条件が満たされるかを探すことがポイントです。

この問題では、二次関数の大小関係を求めるために、関数の形をよく理解し、与えられた条件を満たすaの範囲を求めました。特に、グラフを描いて交点を探しながら、aの範囲を決定する過程が重要でした。理解しにくい場合は、図を描いて視覚的に確認すると効果的です。