ベクトルの大きさと絶対不等式の問題解説

この問題は、ベクトルの大きさの条件と絶対不等式を扱っています。具体的には、ベクトルの和や差を使った計算において、条件を満たすような実数ｋの範囲を求める問題です。また、二次不等式の解法が必要で、その解法の中で判別式を使った条件の確認が求められています。

問題の確認

問題文の中では、与えられたベクトルの大きさやベクトルの差の大きさに関する条件から、実数ｋの範囲を求めます。まずは、与えられた条件を整理しましょう。

問題の中で与えられている条件「｜ａベクトル｜＝２」「｜ｂベクトル｜＝３」「｜ａベクトル－ｂベクトル｜＝√７」を使って、まずはベクトルａ・ｂの内積を求めます。これを使って、次の計算へ進む準備を整えます。

次に、「｜ｋａベクトル＋ｔｂベクトル｜＞√３」が成り立つためのｋの範囲を求めるために、与えられた式を二次不等式として展開します。

二次不等式「ａｔ²＋ｂｔ＋ｃ＞０」の解法では、判別式を用いて解を求めます。この不等式が常に成り立つための条件として「ａ＞０」と「判別式Ｄ＜０」が必要です。なぜなら、二次関数が常に０より大きい場合、判別式Ｄが負でなければならないからです。

判別式Ｄ＜０の理由は、二次関数のグラフがx軸と交わらない場合、関数の値が常に正となるためです。具体的には、グラフが上に凸で、頂点がx軸の上に位置する時に、この条件が満たされます。

この問題を解くためには、ベクトルの大きさや内積、そして二次不等式の解法に関する理解が重要です。特に、判別式を用いた解法を理解することが、問題をスムーズに解くためのポイントです。これらの知識を踏まえた上で、実際に問題を解く際には計算と論理的な思考を組み合わせて進めていきましょう。