3次関数のグラフとX軸との交点の求め方

3次関数のグラフを描いた時に、X軸との交点が何個あるかを求める方法について解説します。3次関数の解の個数やその求め方を理解することで、グラフの特徴を掴むことができます。

1. 3次関数の一般的な形

3次関数は一般的に以下の形で表されます。

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

ここで、a, b, c, d は定数であり、xは変数です。この関数のグラフは、3次の多項式であるため、曲線となり、X軸と交点を持つ場合があります。

X軸との交点を求めるには、3次関数の式においてf(x) = 0となるxの値を求めます。つまり、次のように方程式を解くことになります。

ax³ + bx² + cx + d = 0

この方程式の解がX軸との交点に対応します。解の個数は最大で3個です。つまり、X軸と交点を持つ場所が3箇所ある可能性があります。

3次関数の解の個数は、方程式の判別式や因数分解の方法を使って求めることができます。実数解が3個、2個、1個、または重解がある場合があります。

例えば、方程式を因数分解できる場合、(x – p)(x – q)(x – r) = 0 の形に分解できます。ここで、p, q, r はX軸との交点の座標です。

3次関数のグラフは、通常はS字型をしています。したがって、X軸との交点は1、2、または3箇所です。交点が1箇所のときは、グラフがX軸を1回通過するだけです。交点が2箇所の場合は、グラフがX軸を2回通過し、3箇所の場合はX軸を3回通過します。

また、重解を持つ場合もあり、この場合はX軸と交点を1回通過し、その地点で接する形になります。

3次関数のX軸との交点の個数は、方程式の解によって決まります。最大で3箇所の交点を持ち、解の数は実数解を持つかどうか、重解があるかどうかによって異なります。グラフを描くときは、この点を意識して解を求め、グラフの特徴を理解することが重要です。