互いに素である自然数の個数とその求め方の解説

この問題では、自然数nに対して、mとnが互いに素であるような自然数mの個数を求める関数f(n)に関する問題です。特に、素数p、qに対して、f(pq)とf(p(k乗))を求める問題について解説します。今回は、数弱の方にも理解できるように、言葉でわかりやすく説明します。

互いに素であるとは

まず、互いに素であるという概念について簡単に説明します。2つの自然数mとnが互いに素であるとは、mとnの最大公約数が1であることを意味します。つまり、mとnが共通の約数を持たない場合です。

次に、問題1では、f(pq)を求める方法を解説します。ここでpとqは異なる素数です。pqはpとqの積ですが、f(pq)は、mとpqが互いに素である自然数mの個数を求めるものです。

まず、1からpqまでの整数の中で、pまたはqで割り切れない数を数えます。pとqが互いに素であるため、pやqの倍数は除外されます。これにより、f(pq)を計算することができます。

次に、問題2では、f(p(k乗))を求めます。ここでpは素数、kは自然数です。f(p(k乗))は、mとp(k乗)が互いに素である自然数mの個数を求める問題です。

この場合、p(k乗)はpのk乗であり、pで割り切れない数を数える必要があります。pの倍数を除外して、1からp(k乗)までの自然数の中で、pで割り切れない数の個数を求めることでf(p(k乗))を計算できます。

このように、f(n)を求めるためには、nの倍数を除外して、互いに素である数の個数を数える方法を使います。f(pq)やf(p(k乗))は、素数p、qを使って、nの倍数を考慮し、計算を進めることができます。この問題を解くことで、互いに素である数の個数を求める方法が理解できるでしょう。