サイコロの試行回数における確率の最大化についての解説

この問題は、サイコロを100回投げる際に「1の目」が出る回数がちょうどk回である確率を求める問題です。最終的にこの確率が最大になるのは、kがどの値であるかを知ることが目的です。また、アの答えがなぜそのように求められるのかについても、わかりやすく解説します。

確率の最大化とは

まず、サイコロを100回投げるという問題において、1の目が出る回数がちょうどk回である確率を求めるためには、確率論の基本的な考え方に基づいています。1回の試行ごとに1の目が出る確率は1/6であり、その他の目が出る確率は5/6です。この確率を基に計算します。

確率の式の導出

この問題で重要なのは、1の目が出る回数k回の確率は、二項分布を用いて計算されることです。具体的には、サイコロを100回投げてそのうちk回が1の目である確率は、100回の中からk回を選ぶ組み合わせの数と、1の目が出る確率1/6をk回掛け、その他の目が出る確率5/6を100-k回掛けたものです。この式が、「100Ck × (1/6)^k × (5/6)^(100-k)」となります。

アの答えがなぜこのようになるか

アの答えは、1の目が出る確率を求めるために「(1/6)^k」という形になります。このようにする理由は、1回の試行ごとに1の目が出る確率は1/6であり、それをk回掛け合わせて確率を求めるからです。そして、残りの回数（100-k回）については、1の目以外が出る確率（5/6）を掛け合わせます。

確率が最大になるkの値

確率が最大となるkの値を求めるためには、確率の式が最大になるようなkを探します。この場合、確率が最大になるのは、1の目が出る回数が平均的な値であるk = 100 × (1/6) ≈ 16.67回、すなわちk ≈ 17回の時です。これは、二項分布において、最も高い確率を持つ点が平均値付近に位置するためです。

まとめ

サイコロを100回投げる際に1の目が出る回数k回の確率を求める問題では、確率論の基礎を理解し、二項分布を用いて計算します。アの答えは、1の目が出る確率を正確に表現するために導かれる式であり、最も確率が高いkの値は平均値付近であることがわかります。