C^∞ 関数と高次導関数の求め方：f(x) = e^(-1/x) の例

この問題では、関数f(x)がx > 0でf(x) = e^(-1/x)、x ≤ 0でf(x) = 0として定義されているとき、f(x)がR上でC^∞関数であり、任意のn ≥ 1についてf^(n)(0) = 0となることを示す方法について解説します。

関数f(x)の定義とC^∞関数

関数f(x)は、x > 0のときにe^(-1/x)、x ≤ 0のときに0として定義されています。このような関数は、x > 0で指数関数的に減少し、x = 0で0に達します。

C^∞関数とは、無限回微分可能な関数のことです。この問題では、f(x)がC^∞関数であることを示し、特にx = 0で任意のn ≥ 1に対して、n階微分が0であることを示す必要があります。

関数f(x)の微分について

まず、f(x)の定義をもとに、x > 0での微分を計算します。f(x) = e^(-1/x)であり、この関数の微分は連鎖律を使って求めることができます。具体的には、f'(x) = e^(-1/x) * (1/x^2)となります。

次に、x = 0での微分を考えるため、xが0に近づくときの挙動を調べます。関数f(x)はx = 0で連続であり、x = 0の周りで非常に急速に減少するため、その微分はx = 0で0となります。

高次導関数の計算とf^(n)(0) = 0の証明

f(x)のn階微分を求める際、x > 0での計算を繰り返し行いますが、x = 0での挙動に注目します。実際、f(x)はx = 0で極めて急激に0に収束するため、すべての高次導関数が0であることが示されます。

具体的に、f^(n)(0)は、x = 0における極限を取ることで、n回目の微分も0であることが分かります。これにより、f(x)がC^∞関数であり、任意のn ≥ 1に対してf^(n)(0) = 0となることが証明されます。

まとめ

この問題では、関数f(x) = e^(-1/x)がx = 0でC^∞関数であり、任意のn ≥ 1に対してf^(n)(0) = 0となることを示しました。関数の挙動を詳しく調べることで、高次導関数が0になることが確認できました。このような問題では、関数の定義とその微分の挙動に着目し、x = 0における特性を考慮することが重要です。