微分方程式 e^y(∂z/∂x) + e^x(∂z/∂y) = 0 の完全解と一般解の求め方

この問題では、微分方程式 e^y(∂z/∂x) + e^x(∂z/∂y) = 0 の完全解と一般解を求める方法を解説します。まず、この方程式が示す意味とその解法のアプローチについて説明し、次にその計算方法を詳しく見ていきます。

微分方程式の理解

与えられた微分方程式は、2変数の関数z(x, y)に関する偏微分方程式です。具体的には、xとyに関して偏微分を行い、その結果を連立させることで解を求めます。式は次のようになります。

e^y(∂z/∂x) + e^x(∂z/∂y) = 0

完全解を求めるには、この偏微分方程式を解くために適切な変数分離法を用います。まず、方程式をxとyに関する偏微分項に分解します。次に、各項を独立した微分方程式として考え、それぞれを解いていきます。

変数分離法を使用すると、次のように式を整理できます。

e^y(∂z/∂x) = -e^x(∂z/∂y)

両辺をe^x, e^yで割ることで、次の形に変形できます。

(∂z/∂x) / e^x = -(∂z/∂y) / e^y

この式は、xとyそれぞれに依存した項を分けることができるため、解くための手順が明確になります。

次に、一般解を求める方法を示します。一般解は、これまで求めた解のパラメータとして無限に多くの解を持つものです。具体的にこの場合、変数分離法を用いて得られた解から定数を求め、それを使って一般解を求めることができます。

具体的な解法は、上記の式を積分して得られる関数に依存します。積分後、任意定数を導入することで、一般解が得られます。

実際に、具体的なx, yの値を設定し、この方程式の解がどのように展開されるかを計算してみましょう。例えば、x=0, y=0のときのz(x, y)の値を求めることで、一般解がどのように具体的な値に収束するかを確認できます。

微分方程式 e^y(∂z/∂x) + e^x(∂z/∂y) = 0 の完全解と一般解を求めるためには、まず方程式を変数分離法で分解し、それぞれを解く方法を取ります。最終的には、積分と任意定数を使って一般解を求めることができます。この手法は多くの偏微分方程式に応用可能な基本的な解法です。