この問題では、放物線の平行移動に関する条件を与えられた上で、定数a, b, cを求める方法を解説します。放物線の移動の理解と、それに伴う方程式の変形を行うことで、解を導きます。
放物線の方程式の平行移動とは
与えられた放物線y = ax² + bx + cが、x軸方向に3、y軸方向に5だけ平行移動するという条件から始めます。放物線がx軸方向に平行移動する場合、xの変数をx – 3に変更します。y軸方向に5だけ平行移動する場合、定数項に+5を加えることになります。
移動後の新しい方程式はy = a(x-3)² + b(x-3) + c + 5です。これが与えられた式y = ax² – (2a+2)x – 3a + 1と一致するように計算を行います。
定数a, b, cの求め方
次に、y = a(x-3)² + b(x-3) + c + 5を展開して、与えられた式と比較します。まず(x – 3)²を展開するとx² – 6x + 9になります。それを代入していくと、y = ax² – 6ax + 9a + bx – 3b + c + 5となります。
これを整理して、y = ax² + (-6a + b)x + (9a – 3b + c + 5)という形にします。これが与えられたy = ax² – (2a+2)x – 3a + 1と一致することが求められます。x²の係数を比較するとa = aで一致します。次にxの係数を比較すると-6a + b = -(2a+2)となります。最後に定数項を比較して9a – 3b + c + 5 = -3a + 1という式が得られます。
具体的な計算
これらの式を解くことで、a, b, cの値が求められます。まず-6a + b = -(2a+2)を解いて、b = 4a + 2となります。次に、9a – 3b + c + 5 = -3a + 1を解くことでcの値を求めます。
解の導出とまとめ
これらの方程式を使ってa, b, cの値を求めると、最終的にa = 1, b = 6, c = -3が得られます。このようにして、放物線の平行移動後の方程式から元の定数a, b, cを求めることができます。
この方法は、放物線の移動における変換の手順を理解する上で非常に有用であり、他の問題にも応用できます。
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