三角形ABCにおいて、辺AB=AC=13、BC=10という条件で、頂点A、B、Cを通る円（外接円）の半径と、辺AB、BC、CAに接する円（内接円）の半径を求める方法を解説します。これらの円の半径を求めるための公式と計算手順を紹介します。
問題の設定
与えられた条件は、三角形ABCが二等辺三角形で、辺ABとACが13、辺BCが10であるというものです。まずは、外接円と内接円の半径を求めるための基本的な公式を復習しましょう。
三角形の外接円の半径は、三角形の辺の長さや面積を用いて計算できます。また、内接円の半径は三角形の面積とその周の長さを使って求めることができます。
外接円の半径の求め方
外接円の半径Rは、次の式で求めることができます。
R = (abc) / (4S)
ここで、a、b、cは三角形の各辺の長さ、Sは三角形の面積です。まず、三角形ABCの面積を求める必要があります。二等辺三角形の面積は、次の式で求めることができます。
S = (1/2) × BC × h
ここで、hは頂点AからBCまでの高さです。この高さを求めるために、ピタゴラスの定理を用います。辺ABとACが13、BCが10なので、高さhは次のように求められます。
h = √(13² – (10/2)²) = √(169 – 25) = √144 = 12
したがって、三角形ABCの面積は。
S = (1/2) × 10 × 12 = 60
これを外接円の半径の公式に代入すると、
R = (13 × 13 × 10) / (4 × 60) = 1690 / 240 = 7.04
したがって、外接円の半径は約7.04です。
内接円の半径の求め方
内接円の半径rは、次の式で求められます。
r = S / p
ここで、pは三角形の半周長で、次のように計算できます。
p = (a + b + c) / 2
辺AB、BC、CAの長さはそれぞれ13、10、13なので、半周長pは。
p = (13 + 10 + 13) / 2 = 18
したがって、内接円の半径rは。
r = 60 / 18 = 3.33
したがって、内接円の半径は約3.33です。
まとめ: 外接円と内接円の半径
三角形ABCの外接円の半径は約7.04、内接円の半径は約3.33であることがわかりました。外接円と内接円の半径は、三角形の辺の長さと面積を基に計算することができ、これらの円は三角形の形状に大きく関わっていることが理解できました。
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