∠PОQ = 90° の条件における△QKHの面積最大値の求め方

この問題では、△ABCの条件を基に、点P、点Q、点H、点Kに関する様々な三角形の面積を求める問題です。特に、内接円を使用した最大面積の問題に関して、解法を段階的に解説します。

問題の設定と図形の特徴

まず、与えられた条件を整理しましょう。点Pは円x² + y² = 4上の第一象限を動く点、点Qは円x² + y² = 16上の第二象限を動く点です。これらの点が原点Oを基準に90°の角度を保ちながら動くため、∠PОQ = 90° という関係が成立します。

また、点Pからx軸に垂線PＨをおろし、点Qからもx軸に垂線QＫを下ろします。これらの条件に基づいて、△QKHの面積Sが最大となるときのtanθの値と、面積の最大値を求める問題です。

まず、内接円を考えた場合、三角形の面積Sは次の式で求められます。

S = (1/2) × |AB| × |AC| × sin(θ)

ここで、|AB|と|AC|はそれぞれ辺ABと辺ACの長さです。これにより、三角形の面積を求めることができ、tanθの値に依存する最大面積を計算できます。

次に、tanθが最大となる条件を求めるために、三角形の構成に関連する角度を計算します。tanθは、直角三角形における隣接辺と対辺の比として求めることができます。ここでθは∠PОНに関連し、最大値を取るθを計算します。

tanθが最大となるためには、三角形の形状が最適化される必要があり、この最適化の条件を数式として導出することが求められます。

tanθの最大値を求めた後、最大面積を計算するために、θが最適化された場合の三角形△QKHの面積Sを求めます。三角形の面積Sは、面積の公式にtanθの最大値を代入することで得られます。具体的な計算により、最大面積が得られます。

この問題では、三角形の内接円に関連する面積の最大値を求めるために、三角形の角度とtanθの関係を使用しました。最終的に、tanθの最大値とその時の三角形の面積Sを求めることができました。このような問題を解くことで、幾何学の概念や三角形の性質に対する理解を深めることができます。