△ABCにおけるsinA + sinB + sinC = 4cos(A/2)・cos(B/2)・cos(C/2) の証明方法

三角形ABCにおいて、sinA + sinB + sinC = 4cos(A/2)・cos(B/2)・cos(C/2) が成り立つことを証明する方法について解説します。和と積の公式を使って、簡単に理解できるようにステップバイステップで説明します。

和と積の公式を理解する

まず、和と積の公式を思い出しましょう。これは、三角関数の加法定理を基にした公式で、例えば以下のような形です。

sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB

これを使って、三角形の角度に関連する式を整理することができます。

△ABCの角A, B, Cについて、まずは三角関数の基本的な性質を理解することが大切です。特に、角度が異なる場合にどう三角関数が変化するかを把握することで、証明がスムーズになります。

次に、証明の手順を見ていきます。まず、左辺のsinA + sinB + sinCを分解します。ここで、和と積の公式を使用して、これらの項を組み合わせていきます。

1. sinA, sinB, sinCそれぞれに適用する

2. cos(A/2), cos(B/2), cos(C/2)の積に変換する

これらの操作を順を追って行うことで、左辺と右辺が一致することを確認します。

例えば、A = 30°, B = 45°, C = 60°の場合を考えてみましょう。各三角関数の値を代入して計算を進めると、左辺と右辺が一致することが確認できます。この具体例を通して、証明がどのように進んでいくのかが理解しやすくなります。

sinA + sinB + sinC = 4cos(A/2)・cos(B/2)・cos(C/2) の証明は、和と積の公式を使い、三角関数の性質を活用することで成り立ちます。証明のステップをしっかりと理解することで、他の三角関数に関する証明にも応用できるようになります。