この問題では、２項係数を利用していくつかの等式を証明する方法を学びます。問題の中で登場する三つの等式（ア）、（イ）、（ウ）について、それぞれの証明を段階的に解説します。数式が苦手な方でもわかりやすいように、言葉で説明しながら進めていきます。
問題の設定と公式の確認
まず、基本的な公式を確認しましょう。２項係数（nCr）は、次のように表されます。
nCr = n! / (r! (n-r)!)
また、(1 + x)ⁿ の展開式は、次のように表現できます。
(1 + x)ⁿ = Σ (nCr) xᵣ
この公式を利用して、与えられた等式を証明していきます。
（ア）nC₀ + nC₁ + nC₂ + … + nCn = 2ⁿ の証明
まず、(1 + x)ⁿ を展開すると、以下のようになります。
(1 + x)ⁿ = nC₀ + nC₁ x + nC₂ x² + … + nCn xⁿ
ここで x = 1 を代入すると。
(1 + 1)ⁿ = nC₀ + nC₁ + nC₂ + … + nCn
したがって、(1 + 1)ⁿ = 2ⁿ となり、nC₀ + nC₁ + nC₂ + … + nCn = 2ⁿ が証明されます。
（イ）nC₀ + nC₁ + nC₂ – … + (-1)ᵣ nCr + … + (-1)ⁿ nCn = 0 の証明
次に、この等式を証明します。この場合、(1 – x)ⁿ の展開式を使います。
(1 – x)ⁿ = nC₀ – nC₁ x + nC₂ x² – … + (-1)ᵣ nCr xᵣ + … + (-1)ⁿ nCn xⁿ
ここで x = 1 を代入すると。
(1 – 1)ⁿ = nC₀ – nC₁ + nC₂ – … + (-1)ᵣ nCr + … + (-1)ⁿ nCn
したがって、(1 – 1)ⁿ = 0 となり、nC₀ + nC₁ + nC₂ – … + (-1)ᵣ nCr + … + (-1)ⁿ nCn = 0 が証明されます。
（ウ）nC₀ – 2nC₁ + 2²nC₂ – … + (-2)ᵣ nCr + … + (-2)ⁿ nCn = (-1)ⁿ の証明
最後に、(1 – 2x)ⁿ を展開してこの等式を証明します。
(1 – 2x)ⁿ = nC₀ – 2nC₁ x + 2²nC₂ x² – … + (-2)ᵣ nCr xᵣ + … + (-2)ⁿ nCn xⁿ
ここで x = 1 を代入すると。
(1 – 2)ⁿ = nC₀ – 2nC₁ + 2²nC₂ – … + (-2)ᵣ nCr + … + (-2)ⁿ nCn
したがって、(1 – 2)ⁿ = (-1)ⁿ となり、nC₀ – 2nC₁ + 2²nC₂ – … + (-2)ᵣ nCr + … + (-2)ⁿ nCn = (-1)ⁿ が証明されます。
まとめ：２項係数の応用
この問題を通して、２項係数の展開式を使った等式の証明方法を学びました。各証明は、(1 + x)ⁿ、(1 – x)ⁿ、(1 – 2x)ⁿ の展開式を利用することで簡単に証明できることがわかりました。数学の問題を解く際に、こうした公式や展開式をうまく活用することで、複雑な問題も効率的に解くことができます。
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