中学数学の指数方程式に関する問題で、特に有理数解の求め方や無理数の証明方法について解説します。この問題では、与えられた指数方程式を解くために、計算の手順を追いながら、無理数であることを示す方法について詳しく説明します。
問題の読み取りと基本的なアプローチ
問題文には、以下の式が与えられています。
3^(x) × 5^(-2y) = 5^(x) × 3^(y – 6)
まずは、この式を分解して、指数を整理していきます。このような問題では、指数法則を使って簡単に解くことができます。具体的には、同じ底を持つ指数を整理し、分解することがカギです。
式の変形と指数法則の適用
まず、与えられた式を両辺で整理します。
左辺は 3^(x) × 5^(-2y)、右辺は 5^(x) × 3^(y – 6) です。
指数法則を適用すると、まず底が同じ部分同士を整理します。例えば、3^(x) と 3^(y-6) は指数法則により、3^(x) / 3^(y-6) = 3^(x – y + 6) となります。同様に、5^(x) と 5^(-2y) は 5^(x + 2y) となります。
解の求め方
次に、両辺が同じ形になるように計算を進めます。両辺の指数を比べるため、同じ底を持つ項に注目して解きます。式の変形を進めていくと、x と y の関係が明らかになります。
この過程で、解が有理数でないことを示すためには、最終的に得られる解が無理数であることを証明する必要があります。
無理数であることの証明
次に、問題（１）「3^(x) = 5」を満たすxは無理数であることを証明する方法について説明します。この式を解くためには、まず両辺の対数を取ります。
x = log(5) / log(3)
log(5) や log(3) は有理数ではないため、この式の解は無理数となります。したがって、x は無理数であることが証明されます。
まとめ
指数方程式の解法では、指数法則を上手に使うことが大切です。特に、指数が同じ底を持つ項に分けて整理することが解くカギとなります。また、無理数の証明方法では、対数を使って有理数か無理数かを区別することができます。このようなアプローチを理解することで、より難解な数学の問題にも対応できるようになります。
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