2つの放物線と共通の接線に囲まれた領域の面積を求める方法

この問題では、2つの放物線C1とC2が共通の接線lを持つという条件のもと、それらの放物線と接線に囲まれる領域の面積Sを求める方法について解説します。

問題の確認

問題文にあるように、放物線C1とC2が次のように与えられています。

また、これらの放物線は共通の接線lを持っています。この条件をもとに、接線lと放物線C1、C2に囲まれた領域の面積を求めます。

1. **接線lの方程式の求め方**
共通の接線lがC1とC2の接点で接するので、まず、C1とC2の接線lの方程式を求めます。接線の方程式は、接点での微分を用いて求めることができます。放物線の微分を行い、接点の条件を満たすような接線の方程式を導きます。

2. **接点の座標の求め方**
次に、C1とC2の接点となるx座標を求めます。接線lがC1とC2に接するためには、それぞれの放物線と接線の接点で、接線と放物線の値と微分係数が一致する必要があります。これにより、接点のx座標を求めることができます。

3. **面積Sの求め方**
接点がわかれば、接線と放物線C1、C2の間に挟まれる領域の面積を求めることができます。この面積は、積分を用いて計算します。具体的には、接点間で放物線C1と接線l、または放物線C2と接線lの間に挟まれる領域の面積を求め、合計します。

放物線C1と接線lの間に挟まれる面積は、次のように積分で求められます。

面積 = ∫(接線lの方程式 – C1の方程式) dx

同様に、C2と接線lの間に挟まれる面積も積分で求めます。最終的に、2つの面積を合計すれば、求める面積Sが得られます。

この問題では、2つの放物線が共通の接線を持つ条件を利用し、接線の方程式を求め、接点を特定した後、積分を用いて囲まれる領域の面積Sを計算しました。数学的な手法としては、微分と積分を組み合わせて解く問題です。