関数の変化の割合が等しくなるaの値の求め方

中学3年生の方からの質問です。与えられた2つの関数 y = -3x + 1 と y = ax² の変化の割合が等しくなるときのaの値を求める問題です。まず、変化の割合について考えていきます。

変化の割合の定義

変化の割合は、関数の傾きを示します。直線の関数では傾きは定数ですが、二次関数では傾きが場所によって変わります。この問題では、xが-5から-1まで増加するときの変化の割合が等しい条件を考えます。

まず、y = -3x + 1 は直線の式です。この直線の傾きは-3で、どのxの値でも変化の割合は常に-3です。したがって、この関数の変化の割合は-3です。

次に、y = ax² の変化の割合を求めます。この関数は二次関数であり、変化の割合はxの値によって変化します。xにおける傾きは微分を使って求めます。微分すると、dy/dx = 2ax となります。つまり、xの値によって傾きが変わります。

問題では、xが-5から-1まで増加するとき、両方の関数の変化の割合が等しいときのaの値を求めるように言っています。まず、x = -5とx = -1での変化を求めます。y = ax² の微分結果であるdy/dx = 2ax から、x = -5とx = -1を代入して、それぞれの傾きを求めます。

このようにして、2つの関数の変化の割合が等しくなるaの値を求めることができます。計算を進めると、aの値は-3/10となります。このような方法で、与えられた条件に合うaの値を求めることができます。