代数学の基本定理を用いた方程式 x²−2x+1=0 の複素数解の証明

質問にあるように、方程式 x²−2x+1=0 に複素数解が存在することを代数学の基本定理に基づいて証明することができます。この問題を解くことで、代数方程式が必ず解を持つという重要な理論を理解することができます。ここでは、代数学の基本定理を簡単に説明し、与えられた方程式の解の存在を証明します。

1. 代数学の基本定理とは

代数学の基本定理は、任意の非定数多項式方程式が少なくとも一つの複素数解を持つことを示しています。この定理は、複素数体上で定義された任意の多項式が必ず解を持つという非常に強力な結果です。この定理の重要な点は、実数解を持たない多項式でも、複素数解を持つことを保証するところです。

代数学の基本定理によって、実数範囲だけでなく、複素数範囲にも解が存在することが示されています。

与えられた方程式 x²−2x+1=0 を解くために、まず因数分解を試みます。

x²−2x+1 は (x−1)² と因数分解できます。このため、方程式は (x−1)²=0 となり、x=1 という解が得られます。この解は実数であり、複素数解が必要ない場合にはこれが解です。しかし、代数学の基本定理によれば、複素数解も必ず存在します。

代数学の基本定理により、実数範囲では解が得られない場合でも、複素数範囲で解が存在することが確実です。したがって、x²−2x+1=0 の解は、実数解 x=1 の他にも、複素数解が存在することが保証されます。

このように、代数学の基本定理は、実数範囲では解が見つからない場合でも、複素数解が必ず存在することを示す非常に強力な理論です。

方程式 x²−2x+1=0 は実数解 x=1 を持っていますが、代数学の基本定理により、複素数解も必ず存在することが分かります。代数学の基本定理は、複素数範囲で解の存在を保証するため、実数解だけではなく、複素数解を含めた解が必ず存在することが証明されます。

このように、複素数の領域で解を求める際、代数学の基本定理は非常に重要な理論であり、実数解だけでなく、複素数解も必ず存在することを証明するために利用されます。