接線に関する軌跡問題の解法：直交する接線の交点の求め方

高校数学の問題でよく出る「接線に関する軌跡」の問題ですが、特に放物線 y=x² 上の異なる2点 P(p,p²) と Q(q,q²) における接線が直交する場合、交点 R の軌跡を求める問題はやや難解です。この記事では、この問題の解法を段階的にわかりやすく解説します。

問題の構成と接線の方程式の導出

まず、放物線 y = x² 上の点 P と Q における接線の方程式を求めます。放物線の接線は微分を利用して導出することができますが、最初に求めるべきは、点 P(p, p²) と点 Q(q, q²) における接線の傾きです。

点 P における接線の傾きは、y=x² の微分を利用して、2p となります。したがって、接線 ℓ₁ の方程式は、点 P(p,p²) を通り、傾き 2p の直線方程式となります。点 Q における接線も同様に計算して、方程式を求めることができます。

次に、接線 ℓ₁ と ℓ₂ が直交するためには、2つの接線の傾きの積が -1 でなければなりません。すなわち、ℓ₁ の傾きが 2p、ℓ₂ の傾きが 2q であれば、条件は 2p × 2q = -1 となります。これを式として表すと、p と q の関係式が得られます。

この式を用いて、p と q の関係を式として求め、さらには p と q の値を求めることができます。

接線 ℓ₁ と ℓ₂ の交点 R を求めるには、2つの接線の方程式を連立させて解きます。これにより、R の座標（x, y）を求めることができます。具体的には、ℓ₁ の方程式と ℓ₂ の方程式を連立させ、x 座標を求め、その後に y 座標を求めます。

次に、y 座標が 1/4 であることを示すために、得られた式を整理します。y = 1/4 となるためには、x の値を代入したときに、この条件が満たされることを確認します。これをさらに整理していくと、p と q の関係式に基づいた二次方程式が得られます。

二次方程式の解を求めるためには、判別式 D を使います。判別式 D の計算方法を理解し、D が正であることを確認することで、実際の解が得られます。D を使って解を求め、p と q の具体的な値を得ることができます。

この問題は、放物線上の2点における接線が直交する場合の交点の軌跡を求める問題です。接線の方程式を求め、直交条件を使ってp と q の関係を導出し、最終的に交点の座標を求めます。やや複雑な部分もありますが、解法を段階的に理解することで、問題を解くことができます。