円周率πに関する不等式の証明の解説

この問題では、円周率πに関する不等式が成り立つことを証明することが求められています。具体的には、次の不等式が成り立つことを証明しましょう。

3√6 − 3√2 < π < 24 − 12√3

1. 不等式を理解する

問題の不等式は、πの範囲を示すものです。この問題では、π＝3.14159…といった具体的な数値を使わずに、代わりに式を使ってπがその範囲に収まることを証明します。

まず、左辺の式「3√6 − 3√2」と右辺の式「24 − 12√3」をそれぞれ計算していきます。これらの式がどのようにπを囲むかを理解することが必要です。具体的な計算を行う前に、まずこれらの式を順に分解してみましょう。

「3√6 − 3√2」は、√6と√2の数値を近似して計算し、差を求める方法で進めます。

具体的に計算してみます。まず、√6 ≈ 2.449、√2 ≈ 1.414なので、

3√6 − 3√2 ≈ 3(2.449) − 3(1.414) = 7.347 − 4.242 = 3.105

次に、右辺の式「24 − 12√3」を計算します。√3 ≈ 1.732なので、

24 − 12√3 ≈ 24 − 12(1.732) = 24 − 20.784 = 3.216

したがって、左辺は約3.105、右辺は約3.216となり、これらがπ＝3.14159…を囲んでいることが確認できます。したがって、次の不等式が成立することが分かります。

3.105 < 3.14159 < 3.216

このようにして、πが「3√6 − 3√2 < π < 24 − 12√3」という不等式の範囲に収まることが証明されました。具体的な数値の近似計算を使うことで、不等式の証明が完了します。数学の証明では、代数的な計算だけでなく、数値的な近似を活用することも重要です。