∫sin(mx) + cos(nx) dx の積分方法と場合分けについて解説

積分 ∫sin(mx) + cos(nx) dx の計算方法について、m と n が整数の場合、どのように場合分けして解くべきかを解説します。これを理解するためには、三角関数の積分に関する基本的な知識が必要ですが、具体的な場合分けを行い、解法をステップバイステップで紹介します。

三角関数の積分の基本

まず、sin(x) や cos(x) の積分はそれぞれ基本的な公式に従います。例えば、sin(x) の積分は -cos(x)、cos(x) の積分は sin(x) です。この基本を押さえた上で、積分 ∫sin(mx) + cos(nx) dx を解いていきます。

場合分けの考え方

この積分を計算する際、m と n の値に応じて場合分けを行います。具体的には、m と n が異なる整数の場合でも、それぞれ個別に積分してから結果を合計することができます。積分範囲が指定されていない場合、無限の範囲で積分を行うこともありますが、ここでは一般的な解法を紹介します。

積分の解法

この積分は、sin(mx) と cos(nx) の個別積分を行うことで簡単に解けます。まず、sin(mx) を積分します。これは -1/m * cos(mx) になります。次に、cos(nx) を積分します。これは 1/n * sin(nx) になります。したがって、積分の結果は以下のようになります。

∫sin(mx) dx = -1/m * cos(mx),
∫cos(nx) dx = 1/n * sin(nx)

結果をまとめる

これらを合計することで、最終的な積分結果は次のようになります。

∫(sin(mx) + cos(nx)) dx = -1/m * cos(mx) + 1/n * sin(nx) + C

ここで、C は積分定数です。この結果が、sin(mx) + cos(nx) の積分結果となります。

まとめ

sin(mx) + cos(nx) の積分は、それぞれの三角関数を個別に積分することで簡単に解けます。m と n の値による場合分けは不要で、積分の基本を理解していれば、効率よく解くことができます。これにより、さまざまな三角関数の積分を扱う際に役立つ知識が得られます。