複素数平面での軌跡: 原点を中心に動く点からの逆数の軌跡

数学の問題において、複素数平面での点の動きとその影響を考えることは重要な概念です。特に、原点を中心とする半径2の円を動く点Aに関連する問題では、1/(A-1)が描く軌跡について興味深い結果が得られます。この記事では、Aがそのような円を動くとき、1/(A-1)の軌跡がどのようになるのかを解説します。

1. 問題設定

問題は、複素数平面上で点Aが原点を中心とする半径2の円を動くというものです。このとき、Aの位置は|A| = 2と定義され、次に1/(A-1)という関数が描く軌跡を求めます。

Aが複素数平面上で円を描くとき、1/(A-1)がどのように変化するのかを理解するために、数学的な解析が必要です。

まず、複素数平面での点Aは、極座標で表すとA = 2e^(iθ)（ここでθは角度）となります。このAが原点を中心に動いている間、点Aは半径2の円上を回ります。

次に、1/(A-1)という式を変形して考えます。A = 2e^(iθ)を代入すると、1/(A-1)の形がどのように変化するのかが見えてきます。具体的に計算すると、1/(A-1)は複素数平面上で特定の形の軌跡を描くことが分かります。

実際に計算してみると、1/(A-1)は単純な円ではなく、いわゆる「円弧」を描くことが分かります。この軌跡は、Aが円を描くときに、その逆数を取ることによって得られる幾何学的な形です。

具体的には、この軌跡は直線的ではなく、点Aの動きに従って曲線を描きます。これにより、逆数を取る操作が複素数平面における軌跡にどのように影響を与えるのかが明らかになります。

点Aが原点を中心とする半径2の円を動くとき、1/(A-1)は複素数平面上で複雑な軌跡を描きます。この問題は、複素数の幾何学的特性を理解する上で非常に重要です。計算結果からも、1/(A-1)の軌跡がどのように描かれるかが明確になります。