この問題では、x = 5 – 2√3 の時に、式 x² – 10x + 2 を工夫して解く方法について解説します。まず、与えられた式を整理していきましょう。
問題の整理
与えられた式は x² – 10x + 2 ですが、ここで x = 5 – 2√3 という値が与えられています。これを代入して解いても良いのですが、計算を簡単にするために工夫を加えていきます。
式の代入
まず、x = 5 – 2√3 を式 x² – 10x + 2 に代入します。
x² – 10x + 2 = (5 – 2√3)² – 10(5 – 2√3) + 2
まずは (5 – 2√3)² を展開しましょう。
- (5 – 2√3)² = 25 – 2×5×2√3 + (2√3)² = 25 – 20√3 + 12
- したがって、(5 – 2√3)² = 37 – 20√3
代入後の式
次に、代入していきます。
x² – 10x + 2 = 37 – 20√3 – 10(5 – 2√3) + 2
ここで -10(5 – 2√3) を計算します。
- -10(5 – 2√3) = -50 + 20√3
これを式に代入すると。
x² – 10x + 2 = 37 – 20√3 – 50 + 20√3 + 2
式の簡略化
同じ項をまとめていきましょう。
x² – 10x + 2 = (37 – 50 + 2) + (-20√3 + 20√3)
計算をすると。
- 37 – 50 + 2 = -11
- -20√3 + 20√3 = 0
したがって、x² – 10x + 2 = -11 となります。
まとめ
このように、x = 5 – 2√3 の時に x² – 10x + 2 の値は -11 であることがわかりました。計算を効率的に進めるために、式を展開してから簡単にまとめることがポイントです。
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