不定積分 ∫(tanx - cotx)²dx の解法

この不定積分 ∫(tanx – cotx)²dx を解くための手順を分かりやすく解説します。積分は時に複雑に思えるかもしれませんが、適切な変形を施すことで簡単に解くことができます。

1. 積分式の展開

まず、積分式 (tanx – cotx)² を展開します。展開すると次のようになります。

(tanx – cotx)² = tan²x – 2tanx·cotx + cot²x

これにより、積分を3つの項に分けることができます。

∫(tan²x – 2tanx·cotx + cot²x)dx

次に、各項について積分を行います。

tan²x の積分を行うには、公式 tan²x = sec²x – 1 を利用します。したがって、次のように変形できます。

∫tan²x dx = ∫(sec²x – 1) dx = tanx – x

tanx·cotx は、tanx と cotx の積です。この項を積分すると次のように解けます。

∫tanx·cotx dx = ∫(1) dx = x

同様に、cot²x の積分も公式を利用して解きます。

∫cot²x dx = ∫(csc²x – 1) dx = -cotx – x

これらをすべてまとめると、元の積分式は次のように計算できます。

∫(tanx – cotx)²dx = (tanx – x) – 2x + (-cotx – x) + C

最終的に、積分の解は次のようになります。

∫(tanx – cotx)²dx = tanx – cotx – 3x + C

この問題の解法を通じて、不定積分の計算の進め方を理解できたと思います。まずは積分式を展開し、それぞれの項を積分することで解くことができました。数学的な公式をしっかりと活用することで、複雑に見える積分もスムーズに解けます。