この問題では、連立方程式 3x + 4y = 10 と 2x – 3y = 1 の解が、x = 2, y = 1 以外に存在しないことを証明する方法について解説します。具体的には、連立方程式の解を求める際にどのように計算を進めていくのか、またその結果として他の解が存在しない理由を明確にします。
連立方程式の解法
まずは、与えられた連立方程式 3x + 4y = 10 と 2x – 3y = 1 を解く方法を考えます。連立方程式を解くには、代入法または加減法を使用できますが、ここでは加減法を用いて解いていきます。
加減法による解法
まず、方程式を整理し、片方の変数を消去できるようにします。例えば、3x + 4y = 10 と 2x – 3y = 1 の2つの式を使って、xまたはyを消去します。加減法のポイントは、係数がうまく一致するように式を操作することです。
解の一意性の証明
解を求めた結果、x = 2, y = 1 という解が得られます。この時、xとyに対する他の解が存在しない理由についても考えてみます。連立方程式が一意の解を持つためには、式が線形独立である必要があります。すなわち、2つの式が同じ直線を表していない限り、交点は1つだけとなります。
他の解が存在しない理由
上記のように、連立方程式が一意の解を持つ理由は、直線が交差する点が1つだけであるためです。もし他に解があれば、2つの直線が重なって無限に解が存在することになりますが、与えられた方程式ではそのような事態にはならないため、x = 2, y = 1 以外の解は存在しません。
まとめ
連立方程式 3x + 4y = 10 と 2x – 3y = 1 の解が一意であることを証明しました。加減法を用いて解いた結果、x = 2, y = 1 という解が得られ、それ以外の解が存在しないことが確認できました。このように、連立方程式を解く際には解の一意性に注目し、計算ミスを避けるための工夫が大切です。
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