数学でよく出てくる式「a^3 + b^3 + c^3 – 3abc」を因数分解する方法について解説します。この式は、「和の三乗の因数分解」として知られており、特に中学・高校の数学で学ぶ重要なトピックの一つです。
因数分解の基本的な方法
「a^3 + b^3 + c^3 – 3abc」という式は、因数分解の公式を使用して分解できます。この式は、次のような因数分解の公式に基づいています：
a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)
この公式を使うことで、a、b、cに関する三次式を二次式と一次式の積に分解することができます。
因数分解の理由
なぜこの式が因数分解できるのか？という理由を理解するためには、まず「a^3 + b^3 + c^3 – 3abc」の形を考えましょう。実は、この式は「三つの数の和を三乗した式」に似た形をしており、そこから導かれる公式を使います。
例えば、a + b + c のような式に三乗を適用すると、a^3 + b^3 + c^3 – 3abc という形になります。これを利用して、因数分解を進めていきます。
因数分解の実例
実際にこの公式を使ってみましょう。例えば、a = 1, b = 2, c = 3 の場合、次のように計算できます。
1. a^3 + b^3 + c^3 – 3abc を計算します。
1^3 + 2^3 + 3^3 – 3(1)(2)(3) = 1 + 8 + 27 – 18 = 18
2. (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) を計算します。
(1 + 2 + 3)((1)^2 + (2)^2 + (3)^2 – (1)(2) – (2)(3) – (3)(1)) = 6(1 + 4 + 9 – 2 – 6 – 3) = 6(3) = 18
結果が一致するため、この因数分解の公式が正しいことが確認できます。
まとめ
「a^3 + b^3 + c^3 – 3abc」という式の因数分解は、公式を使うことで簡単に求めることができます。この公式は、三つの数の和の三乗を分解する方法として覚えておくと便利です。今後、この式に関連する問題に直面した際に、公式を使って素早く解くことができるようになるでしょう。
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