連立微分方程式の解法：x''+5x+y=cos2tとy''-x+3y=0

連立微分方程式は、物理学や工学などの分野で非常に重要です。この問題では、2つの微分方程式を解く必要があります。問題の詳細は以下の通りです。

問題の設定

与えられた連立微分方程式は以下の通りです。

ここで、xとyは時間tの関数であり、x”およびy”はそれぞれxおよびyの2階微分です。この問題を解くためには、適切な解法を適用する必要があります。

まず、この連立方程式を解くために、未知関数x(t)とy(t)を求めます。この問題は線形な2階微分方程式ですので、標準的な方法で解くことができます。特に、変数分離法や定数変化法を使う方法が有効です。

まず、最初の式x” + 5x + y = cos(2t)から、yをxとその微分を使って表現し、次にそれを2番目の式に代入します。これにより、x(t)を求めるための方程式が得られます。

最初の式からyを解きます。

y = cos(2t) – x” – 5x

このyを2番目の式y” – x + 3y = 0に代入します。これによりxの2階微分と関数の形が得られます。

次に、得られた方程式に対して変数分離法や定数変化法を適用します。これにより、x(t)とy(t)の一般解を得ることができます。

ここで、定数C1およびC2を導入して、解の一般的な形を得ます。具体的には、x(t)とy(t)の両方において、初期条件を用いて定数を決定します。

連立微分方程式を解くには、まずyをxとその微分を使って表現し、それを2番目の式に代入します。その後、変数分離法や定数変化法を適用して、x(t)とy(t)の解を求めることができます。問題の解法は、手順をしっかりと踏んで進めることで、確実に解答にたどり着くことができます。