sinの定義と任意の角度に対する値が求められる理由

直角三角形におけるsinの定義は、「高さ/斜辺の長さ」という非常にシンプルな形で説明できます。しかし、問題となるのは、任意の実数に対してもsinの値を求めることができるという点です。ここでは、なぜsinが任意の角度に対しても求められるのかを、級数展開や定義に基づいて解説します。

sinの定義と直角三角形における解釈

sinは、直角三角形の角度に対して「高さ/斜辺の長さ」として定義されます。例えば、角度が0, π/6, π/4, π/3, π/2 などの場合、三角形の寸法を基にして、各角度のsinを簡単に求めることができます。

このように、特定の角度に対しては直角三角形の寸法を使ってsinの値を求めることができますが、問題は「任意の角度」—例えば、√2/πやe/πのような数値—に対してもsinの値を求められる理由です。

任意の角度に対してもsinの値を求める方法は、級数展開を用いることによって実現します。具体的には、sin関数はテイラー級数展開（またはマクローリン級数）を使用して次のように表されます。

sin(x) = x – (x³ / 3!) + (x⁵ / 5!) – (x⁷ / 7!) + …

この展開を利用すると、任意の実数xに対して、sin(x)の値を無限級数として求めることができます。この方法では、角度xがどのような値であってもsinの値を計算することが可能です。

直角三角形におけるsinはあくまで角度の関数として「高さ/斜辺」と定義されます。しかし、三角関数は直角三角形に限定されず、一般的には単位円（半径が1の円）を用いて定義されることが多いです。単位円では、角度が任意の値を取ることができ、対応するsinの値が求められます。

単位円において、角度θのsinは、単位円上の点のy座標として定義されます。この定義を用いれば、xが任意の実数であってもsin(x)の値を求めることができます。

sinの値は、級数展開だけでなく、数値的に近似を行う方法や計算機を用いる方法でも求めることができます。例えば、数値解析やコンピュータでの計算では、sinの値を非常に高い精度で求めることができます。これにより、実際には任意の角度に対応するsinの値が計算可能となります。

直角三角形におけるsinは、「高さ/斜辺の長さ」として定義されますが、任意の実数に対してもsinの値を求められる理由は、級数展開や単位円による一般的な定義を使用することで実現できます。これにより、sinは特定の角度だけでなく、任意の角度にも適用できる普遍的な関数となります。