階差数列は、各項の差が一定でない数列ですが、階差を繰り返しとっていくことで、最終的に等差数列に変換することができます。このプロセスを使って、数列の公差を求める方法を解説します。今回は、数列「1, 2, 5, 10, 17, 26…」を使い、階差数列の公差を求めていきます。
階差数列とは？
階差数列とは、隣接する項の差を取った数列のことです。最初に与えられた数列の各項に対して、隣接する項との差を計算して新しい数列を作ります。階差数列は、最初は不規則でも、繰り返し差を取ることで、最終的に等差数列に変化することが多いです。
数列の階差を求める方法
与えられた数列「1, 2, 5, 10, 17, 26…」の隣接する項の差を計算すると、次の階差数列が得られます。
- 2 – 1 = 1
- 5 – 2 = 3
- 10 – 5 = 5
- 17 – 10 = 7
- 26 – 17 = 9
この階差数列は「1, 3, 5, 7, 9…」となります。このように、最初の差は一定ではなく、次第に差が一定の数列に変わります。
階差数列の公差
次に、この階差数列の差をさらに取ることで、さらに深い階差数列が得られます。今回の場合、階差「1, 3, 5, 7, 9…」の隣接する項の差を取ると、次のようになります。
- 3 – 1 = 2
- 5 – 3 = 2
- 7 – 5 = 2
- 9 – 7 = 2
この階差数列は「2, 2, 2, 2…」となり、一定の公差2を持つ等差数列が得られます。
最終的な等差数列の公差
階差数列の差を取っていくと、最終的に等差数列に変換されます。今回の例では、階差数列が「1, 3, 5, 7, 9…」となり、さらにその差を取ると「2, 2, 2…」となります。したがって、この数列の公差は「2」となります。
まとめ
階差数列から公差を求める方法は、まず与えられた数列の隣接項の差を取って階差数列を作り、さらにその階差数列の差を取って最終的な公差を求めるというものです。今回の数列「1, 2, 5, 10, 17, 26…」においては、階差を繰り返しとっていくことで、最終的に公差が2の等差数列に変換されました。
コメント