今回の問題は、直線の方程式 y = 2tx – t² + 1 の範囲 0 ≦ t ≦ 1 において、直線が通過する領域を図示する問題です。特に、tの変化によって直線の位置がどのように変化するのかを理解することが大切です。ここでは、この問題を解くためのステップとその解説をわかりやすく説明します。
直線方程式 y = 2tx – t² + 1 の特徴
まず、与えられた方程式 y = 2tx – t² + 1 を見てみましょう。この式は t（時間）の変化によって直線の傾きや位置が変わる、いわゆる「パラメトリック方程式」です。tの値が変わることで直線がどのように動くのか、特に t が 0 から 1 まで変化する場合について考えます。
t = 0 の場合
t = 0 のとき、式は y = 1 になります。これは、x 軸上の y = 1 という水平な直線です。つまり、t が 0 のときは、直線は x 軸上で一定の位置にあります。
t = 1 の場合
次に、t = 1 の場合を考えてみます。このとき、式は y = 2x – 1 + 1 となり、y = 2x という直線に変わります。t が 1 のとき、直線の傾きは 2 になり、x 軸を 2 の傾きで通ることがわかります。
t の変化による直線の変化
t の値が 0 から 1 の間で変化すると、直線の傾きも変わり、位置も動きます。この範囲内では、直線がどのように変化するかをグラフに描くことで、通過領域が視覚的に理解できるようになります。最終的に、直線が通過する領域は、t の値に応じた直線群が描く範囲となります。
図示方法と通過領域
この問題では、t の変化による直線の動きを視覚的に表現することが求められます。直線 y = 2tx – t² + 1 のグラフを描くためには、t の値を変えながらその都度直線を描いていきます。t = 0 から t = 1 の間で、直線がどのように動くかを示すことで、その通過領域が明確になります。
まとめ
この問題の解法は、直線の方程式がパラメトリックに与えられていることを理解し、t の変化によって直線がどのように動くのかを把握することが重要です。t = 0 のときは水平線、t = 1 のときは y = 2x の直線になることから、通過領域を図示することができます。問題を解くためには、t の変化に伴う直線の動きを正確に描き、領域を視覚的に理解することがポイントです。
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