長さ24cmの針金を使って、正方形と長方形を作り、その面積の和を最小にするためには、正方形を作る方の針金の長さをどれくらいにすればよいのでしょうか？この問題を解くためのアプローチを解説します。
問題の整理
針金の長さは合計24cmです。これを2本に切り、1本は正方形、もう1本は長方形にします。長方形の縦の長さは横の長さの2倍であることが条件です。目標は、この2つの図形の面積の和を最小にするために、正方形を作る針金の長さを求めることです。
正方形と長方形の面積の計算
まず、それぞれの図形の面積を求めます。
- 正方形の場合、1辺の長さをaとしたとき、正方形の周囲の長さは4aです。針金の長さをxとした場合、正方形の面積はx = 4a より、a = x/4となり、面積は面積 = a² = (x/4)² = x²/16です。
- 長方形の場合、縦の長さをb、横の長さをcとしたとき、縦の長さは横の長さの2倍とされています。したがって、b = 2cです。長方形の周囲の長さは2b + 2c = 2(2c) + 2c = 6cです。針金の長さを24 – x（正方形に使う針金の長さ）とした場合、長方形の面積は長さ×幅で、面積は面積 = b × c = 2c × c = 2c²となります。針金の長さが6cに等しいので、c = (24 – x)/6となり、長方形の面積は面積 = 2c² = 2[(24 – x)/6]²です。
面積の和の最小化
正方形と長方形の面積の和を最小にするために、面積の和を求め、それを最小にするxの値を求めます。
面積の和は次のように表せます。
- 正方形の面積 = x²/16
- 長方形の面積 = 2[(24 – x)/6]²
これらを足し合わせると、面積の和はS(x) = x²/16 + 2[(24 – x)/6]²となります。このS(x)を最小にするxを求めます。
微分を使った最小化
S(x)を最小化するために、微分を使って最小値を求めます。まずS(x)をxで微分し、その微分がゼロになる点を求めます。微分後、得られたxの値が正であれば、それが面積の和が最小になる点です。
結果と解答
微分を行うと、正方形を作る針金の長さxは約10cmとなり、これが面積の和を最小にする正方形の針金の長さです。この長さにすると、残りの14cmの針金で長方形が作られ、最小の面積の和が得られます。
まとめ
長さ24cmの針金で作る正方形と長方形の面積の和を最小にするためには、正方形を作る針金の長さを約10cmにすればよいことがわかりました。この問題を解くには、面積の和を最小にするために微分を用いて最小化する方法が有効です。
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