連立微分方程式の解法：x''-5x'+13x+y'+20y=e^t と x'+2x+y''+3y'+3y=e^-t の解法

今回は、以下の連立微分方程式を解いていきます。

x”-5x’+13x+y’+20y=e^t

x’+2x+y”+3y’+3y=e^-t

連立微分方程式の理解

まず、連立微分方程式を理解することから始めます。これらの方程式には、関数x(t)とy(t)が含まれ、それぞれが時間の関数で微分されます。方程式の右辺には指数関数が含まれており、このタイプの方程式は特に物理や工学の問題でよく見られます。

この問題を解くためには、通常、ラプラス変換を用いることが一般的です。ラプラス変換を使うことで、微分方程式を代数方程式に変換し、解を求めることができます。

それぞれの微分項にラプラス変換を適用します。例えば、x”(t)のラプラス変換はs^2*X(s) – s*x(0) – x'(0)という形になります。この方法でx(t)とy(t)のラプラス変換式を得ることができます。

ラプラス変換した後の代数方程式を解き、X(s)とY(s)を求めます。これにより、sの関数としての解を得ることができます。

得られた代数方程式の解X(s)とY(s)を逆ラプラス変換することによって、x(t)とy(t)の解を得ます。この手順で、与えられた連立微分方程式の時間的な解が求まります。

このようにして、連立微分方程式を解くためには、ラプラス変換を使用して代数方程式に変換し、その後逆ラプラス変換で時間領域の解を得るという手順を踏みます。微分方程式の解法には様々な方法がありますが、ラプラス変換は非常に強力なツールです。