円と直線が共有点をもたない条件を求める方法：mの値の範囲について

円と直線が共有点をもたないという条件のもとで、直線の傾きmの値の範囲を求める問題があります。この問題では、円の方程式x² + y² = 1と直線y = mx + 3が共有点を持たないためのmの範囲を求める必要があります。今回は、この問題を解くためのステップをわかりやすく解説します。

円と直線の方程式

まず、問題に登場する円と直線の方程式を確認します。円の方程式はx² + y² = 1であり、これは半径1の円を原点を中心に描く式です。一方、直線はy = mx + 3と与えられており、傾きmと切片3を持つ直線です。

円と直線が共有点をもたないためには、直線と円が交わらないことが必要です。これを数学的に言い換えると、円と直線の交点を求めたとき、解が存在しないことを意味します。交点が存在しないための条件は、連立方程式の判別式が負であることです。

円と直線の交点を求めるため、直線の方程式y = mx + 3を円の方程式x² + y² = 1に代入します。すると、x² + (mx + 3)² = 1となり、展開して整理すると、2次方程式が得られます。

代入後に得られる2次方程式の判別式を求めます。この判別式が負であるとき、解が実数ではなく虚数になるため、円と直線が交点を持たないことが確定します。

判別式が負である条件を計算すると、mの範囲は-2√2 < m < 2√2となります。この範囲で直線が円と交わらず、共有点を持たないことがわかります。

このようにして、mの値の範囲が-2√2 < m < 2√2であることが導かれます。この範囲において、直線y = mx + 3は円x² + y² = 1と交わることがなく、問題の条件を満たします。

円と直線が共有点を持たない条件を求める問題は、連立方程式を解く過程で得られる2次方程式の判別式を利用して解決できます。この問題の場合、判別式が負となるmの範囲は-2√2 < m < 2√2です。これにより、直線が円と交わらない条件を求めることができました。