連立微分方程式の解法：x” + 3x + 2y’ = e^-t, x’ – x + y = -e^-t

連立微分方程式を解く問題について、特に次の式を解く方法を解説します。
x” + 3x + 2y’ = e^-t
x’ – x + y = -e^-t

連立微分方程式の整理

与えられた連立微分方程式は次の通りです。

• x” + 3x + 2y’ = e^-t
• x’ – x + y = -e^-t

この2つの方程式において、xとyはtの関数です。まず、x’およびx”はそれぞれxの1階および2階微分を意味します。これらの方程式を解くために、yをxの関数として表現し、代入する方法を取ります。

ステップ1: x’ – x + y = -e^-tからyを解く

まず、2つ目の式x’ – x + y = -e^-tからyを解きます。

y = e^-t – x’ + xとなります。これを1つ目の式に代入します。

ステップ2: yを代入して1つ目の式を解く

y = e^-t – x’ + xを1つ目の式x” + 3x + 2y’ = e^-tに代入すると、次のような式が得られます。

x” + 3x + 2(d/dt[e^-t – x’ + x]) = e^-t

この式を展開していくと、微分項を計算することで、xに関する2階微分方程式が得られます。

ステップ3: xの解を求める

この2階微分方程式を解くためには、まず同次方程式を解き、次に特解を求めます。具体的には、同次方程式の解を求め、その後に特定の初期条件や右辺のe^-tに合わせた特解を求めます。これにより、xの解を得ることができます。

まとめ

連立微分方程式の解法は、まずyをxの関数として表現し、それを連立方程式に代入して1つの微分方程式に変換する方法が有効です。その後、2階微分方程式を解くことで解が得られます。このプロセスを踏むことで、与えられた連立微分方程式を解くことができます。