X軸回りの回転体とY軸回りの回転体：バームクーヘン積分の使用理由とその違い

回転体の体積を求める際に、「バームクーヘン積分」がよく使われますが、Y軸回りの回転体に比べてX軸回りの回転体ではなぜ使われないのでしょうか。本記事では、その理由を解説し、X軸回りとY軸回りの回転体に対する体積計算のアプローチの違いを詳しく説明します。

バームクーヘン積分とは？

バームクーヘン積分は、回転体の体積を求める際に使われる方法で、円盤の面積を積み重ねるというイメージで理解できます。通常、回転体の体積を求めるときは、断面積を積分することで求めます。この方法は、回転軸を中心にして薄い円盤を並べたような形で体積を求める方法です。

Y軸回りの回転体においては、この方法が直感的に適用でき、簡単に計算を進められるため、非常に便利です。

X軸回りの回転体においては、バームクーヘン積分は基本的に使いません。その理由は、X軸を回転軸として円盤を使う方法ではなく、円環状の断面を使うことが適しているためです。

X軸回りの回転体の場合、回転体の断面が「円」ではなく「円環」のような形を取ることが多いです。そのため、円環の面積を求めるために、円環の外周と内周の距離を基にして計算する必要があり、この場合、異なる計算方法を使用します。

Y軸回りの回転体の場合、バームクーヘン積分を使うことで、断面が円の面積として簡単に求められるため、計算が直感的に進みます。Y軸を回転軸とした場合、回転する図形の各部分が直線的に積み重ねられ、単純に面積を積分するだけで体積を求められます。

具体的には、関数y=f(x)をY軸回りに回転させると、断面が円の面積となり、その面積を積分して体積を求めます。これが「バームクーヘン積分」の考え方です。

X軸回りの回転体の場合、バームクーヘン積分の代わりに、通常は円環の面積を求める方法を使用します。関数y=f(x)がX軸回りに回転するとき、断面積は円環の形を取り、その面積を積分して体積を求めます。

計算式は、積分する対象が円環の面積であるため、外円の半径と内円の半径の差を考慮した積分を行います。これにより、X軸回りでも体積を求めることができます。

回転体の体積を求める際に、Y軸回りにはバームクーヘン積分が使われる理由は、その計算が直感的で簡単だからです。しかし、X軸回りの場合は、円環の面積を使うため、別の方法で計算します。どちらの方法も理解することで、回転体の体積計算を効率よく行うことができます。