f(x) = x³ – 3a²x の最大値の求め方と微分の重要性

今回の質問では、関数 f(x) = x³ – 3a²x の最大値を求める問題について疑問を持っている方への解説です。問題でのアプローチや微分を使った解法の必要性について詳しく見ていきます。

1. 問題の理解

問題の関数は f(x) = x³ – 3a²x で、xが0以上1以下の範囲にあります。この関数の最大値を求めるために必要な手順を見ていきましょう。

2. 微分の基本的なアプローチ

関数の最大値や最小値を求めるためには、まず関数を微分して、その導関数が0となる点を求めます。このような点を「臨界点」と呼びます。

f(x) = x³ – 3a²x の微分は、f'(x) = 3x² – 3a² です。これを0に設定して、臨界点を求めます。

• f'(x) = 3x² – 3a² = 0 となり、x² = a² です。
• したがって、x = ±a となります。

しかし、xが0以上1以下の範囲にあるため、x = aが適切な解となります。

3. 最大値を求めるための範囲の確認

次に、x = aの点が最大値か最小値かを判定するために、2回微分を行います。2回微分は、f”(x) = 6x となります。

x = aの場合、f”(a) = 6a となり、a > 0 の場合、2回微分は正の値になります。これにより、x = aでの値が最小値となることが分かります。

4. 結果と問題文への対応

問題文では、f(0) = f(1)でxが入れ替わるといったアプローチが説明されていますが、微分を使わない方法で解くのは不適切である可能性があります。微分を使って臨界点を求める方が理論的に正しい方法です。

5. まとめ

この問題を解くためには、微分を使って関数の最大値や最小値を求めることが重要です。2回微分を使って最小値を判定することで、解答が正しく導かれます。微分を使わない解法が提案されることもありますが、正確な解法には微分の使用が不可欠です。