この問題では、1 + 1/t ≧ a の不等式を満たすaの最大値を求める問題について解説します。特に、tが0に近づくときの挙動や、a = 1としてよいのか、また大学受験数学として許容される解法についても触れます。
1. 問題の理解
問題では、関数 1 + 1/t ≧ a の範囲を考えています。この不等式は、tが0より大きい範囲で成立します。t → 0 と t → ∞ の挙動を把握することが重要です。
2. t → 0 および t → ∞ の極限の扱い
まず、t → 0 の場合、1 + 1/t は無限大に発散します。したがって、この時点で a の最大値が存在しないことがわかります。一方、t → ∞ の場合、1 + 1/t は1に収束します。このことをもとに、a の最大値を探ります。
不等式 1 + 1/t ≧ a を満たすためには、a の最大値は1に近い値、つまり a = 1 が最も適切な解となります。
3. 1 + 1/t の挙動について
1 + 1/t の値は、tが0から大きくなるにつれて1に収束します。つまり、tが非常に大きくなると、1 + 1/t は1に近づくので、a = 1としても不等式は成立します。
4. 解法の許容範囲と大学受験におけるアプローチ
大学受験数学では、極限を用いて近似的に解く方法が一般的です。この問題では、a = 1とする解法が許容される範囲に収まるため、受験においても十分な解法と言えるでしょう。厳密に言えば、a = 1の「ちょうど」なる時点では1 + 1/tはt→∞で収束しますが、tが0に近い時期の挙動に関しては大きな影響を与えないため、a = 1が最適な解として許容されます。
5. まとめ
1 + 1/t ≧ a の不等式において、aの最大値はa = 1であると求められます。tが0に近づくときの挙動やtが無限大になるときの挙動を考慮し、受験数学としてはこの解法が許容されます。極限を用いた解法を理解することが、問題を解くうえでのポイントとなります。
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