この問題では、△ABCにおける外心 O と垂心 H をベクトルで表現し、計算式が合わない理由について解説します。与えられたベクトルの式を使って、OH=OA+OB+OCの関係が成り立つかどうかを検証します。
1. 問題の式と与えられた情報の確認
問題文では、△ABCの外心 O と垂心 H に関するベクトルの式が与えられています。具体的には、以下の式です。
- AO = (2/5)AB + (1/4)AC (式①)
- AH = (1/5)AB + (1/2)AC (式②)
また、OH = OA + OB + OC が成り立つことを確認しなければなりません。
2. 外心と垂心のベクトルの意味
外心 O と垂心 H は、それぞれ△ABCにおける特定の点であり、ベクトルで表すときに、各辺に対する位置関係や方向が重要です。式①と式②は、各点からのベクトルの合成です。この合成をもとに計算を進めます。
3. OH=OA+OB+OCの検証
問題文で OH = OA + OB + OC が成り立つとされていますが、これが成立しない理由について考えます。式②から式①を引いた結果、計算が一致しない理由は、ベクトルの加法が単純に成り立つわけではないためです。点OとHの位置関係や、三角形の性質を考慮する必要があります。
4. 計算の注意点と修正
ベクトル計算では、単純な式の引き算や加算ではなく、三角形の幾何学的な関係を理解した上で計算する必要があります。OH=OA+OB+OC の式が成立しないのは、外心と垂心の位置関係に関する誤解が生じている可能性があります。
5. まとめ
この問題では、外心と垂心のベクトルを用いた計算で、OH=OA+OB+OCが成り立たない理由を説明しました。ベクトル計算には、幾何学的な理解を深めることが大切です。式②から式①を引く際の注意点を再確認し、ベクトルの性質を理解することが重要です。
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