sin^2θ + cosθ − a = 0 の解の範囲を求める方法 | 数Iの問題解説

本記事では、三角関数を用いた方程式の解法について解説します。問題は、sin²θ + cosθ − a = 0 の方程式が異なる2個の解を持つための定数aの範囲を求める問題です。具体的な解法を順を追って説明し、理解を深めていきます。

1. 方程式 sin²θ + cosθ − a = 0 について

この問題の方程式は sin²θ + cosθ − a = 0 です。まず、三角関数の公式を使って解を求める必要があります。問題では、θの範囲が 30° ≤ θ ≤ 180° と与えられています。この範囲での解が2個存在するための条件を求めることが目標です。

sin²θ と cosθ の関係式を用いることで、方程式を一つの三角関数にまとめて解くことができます。具体的には、sin²θ = 1 − cos²θ を使って、cosθ に関する二次方程式として変形します。

sin²θ = 1 − cos²θ を代入し、方程式を cosθ の二次方程式に変形します。これにより、方程式は次のようになります。

1 − cos²θ + cosθ − a = 0

この式を整理すると、cos²θ − cosθ + (a − 1) = 0 となります。この二次方程式を解くことで、cosθ の値を求めることができます。

次に、二次方程式の解が実数であるための条件を求めます。二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解が実数となるためには、判別式 D = b² − 4ac が非負でなければなりません。

今回の方程式では、a = 1、b = −1、c = a − 1 ですので、判別式 D は次のように計算できます。

D = (−1)² − 4(1)(a − 1) = 1 − 4(a − 1) = 5 − 4a

この判別式が非負であるためには、5 − 4a ≥ 0 となります。したがって、a ≤ 5/4 という条件が得られます。

異なる2個の解が存在するためには、判別式 D が正である必要があります。すなわち、D > 0 となる必要があります。

したがって、5 − 4a > 0 となり、a < 5/4 という条件が得られます。この範囲で解が異なる2個存在することが確定します。

以上の計算により、方程式 sin²θ + cosθ − a = 0 が異なる2個の解を持つための定数 a の範囲は、a < 5/4 であることが分かりました。

このように、三角関数の方程式では、解が実数かつ異なる解が存在するための条件を求めるために、判別式を使って計算する方法が有効です。