正n角形の対角線の長さと最短対角線の導出方法

この問題では、正n角形の内角θとy軸に平行な対角線の長さについて考えます。特に、最も短い対角線の長さがルート（2-2cosθ）で表されることについて、途中の過程を理解するための解説を行います。

正n角形の基本的な性質

まず、正n角形において、各内角θを求める方法を確認します。n角形の内角は、次の式で求めることができます。

θ = (n – 2) * 180° / n

ここで、nは角形の辺の数を表します。例えば、n = 10の場合、θ = (10 – 2) * 180° / 10 = 144°となります。これで、内角の大きさが求められます。

次に、y軸に平行な対角線の長さを求めます。正n角形の頂点の座標は、中心を原点とし、半径を1とした円上に配置されています。ここで、y軸に平行な対角線を考えると、x座標の差に依存して長さが決まります。

まず、円上の各頂点の座標は、次のように表せます。

(x_i, y_i) = (cos(2πi/n), sin(2πi/n))

ここで、iは頂点番号で、nは頂点数です。y軸に平行な対角線は、i番目の頂点とその対角に位置する頂点を結びます。

対角線の長さは、2つの頂点間の距離として求めることができます。座標間の距離を求めるための式は、次のように表されます。

d = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)

ここで、(x1, y1)と(x2, y2)は対角線を形成する2つの頂点の座標です。最短対角線は、x軸に平行に近い頂点同士を結んだものです。この場合、距離をcosθに関する式で表現することができます。

最終的に、最短対角線の長さは次の式で表されます。

d = √(2 – 2 * cos(θ))

正n角形における最短対角線の長さは、角度θを用いて「ルート（2 – 2cosθ）」として表されます。この式は、正n角形の座標と数学的な距離計算に基づいて導かれ、特にy軸に平行な対角線に適用されます。公式の途中式を理解することで、他の問題にも応用可能な知識を得ることができます。